Il movimento che caratterizza l’andamento dei prezzi è definibile come un processo stocastico, data la sua natura casuale ed imprevedibile. Infatti, è stato evidenziato come, in finanza, la formazione del prezzo di un’azione è indipendente dal precedente prezzo di mercato dell’azione stessa, e la corrispondente storia dei prezzi non risulta essere un indicatore affidabile per i prezzi futuri di lungo periodo.
Il modello noto come passeggiata aleatoria (Random walk) è il modello base utilizzato per descrivere i movimenti dei prezzi azionari nei principali modelli di gestione del rischio.
Nelle applicazioni economico-finanziarie si utilizzano prevalentemente passeggiate aleatorie per descrivere movimenti di prezzo nel tempo.
L’idea di base della Random Walk è che il prezzo di domani sia la somma del prezzo odierno e di un valore aleatorio. La prima caratteristica di questo modello è che ogni osservazione è indipendente dall’altra; nel caso monodimensionale i prezzi si muovono di un passo verso una certa direzione con probabilità p, o nella direzione opposta con probabilità 1-p (sotto le ipotesi che ogni passo sia di lunghezza costante e indipendente dal precedente).
Gli spostamenti avvengono con cadenza regolare prefissata.
Le variazioni di prezzo hanno media e volatilità costante.
Questo modello si può anche rendere più formale definendolo come un processo stocastico {Bn} discreto binomiale di parametro p, dove n è il tempo e Bn∼Binom(n, p) e inoltre:
P(B(n−1) − Bn = 1) = p
P(B(n−1) − Bn = −1) = 1 − p
Il guadagno cumulato, dopo n spostamenti, dato da t=nu segue una legge binomiale con media 0 e varianza t. Quindi il guadagno cumulato è (2k−n)·u con probabilità pari a quella della vincita di esattamente k scommesse sulle n totali. Per u che tende a 0 e per n che diverge in modo che il prodotto nu sia sempre pari a t, la distribuzione di probabilità del guadagno cumulato converge a una distribuzione normale con media 0 e varianza t.
In particolare, per t=1 il guadagno cumulato tende a una distribuzione normale standard.
Il processo di guadagno cumulato associato ad una passeggiata aleatoria nel continuo è detto Processo di Wiener.
Tale processo in forma standard è chiamato anche moto browniano.
Genralmente con il termine moto browniano si fa riferimento al moto disordinato di particelle sufficientemente piccole presenti in fluidi o sospensioni fluide, osservabile al microscopio.
In seguito, il matematico francese Louis Bachelier nella sua tesi di dottorato del 1900 sulla "Théorie de la spéculation" sviluppò una teoria, basata su un approccio statistico, con lo scopo di dare conto dell'andamento dei prezzi dei titoli alla Borsa di Parigi. Gli strumenti matematici da lui usati sono molto simili a quelli adoperati da Einstein nell'analisi del moto browniano, e ne condividono i presupposti fondamentali: le variazioni della grandezza in esame (i prezzi dei titoli in questo caso, gli spostamenti in quello del moto delle particelle) sono indipendenti da quelle precedenti, e la distribuzione di probabilità di tali variazioni è gaussiana.
Per questo lavoro, che rappresenta la prima rappresentazione matematica dell'andamento nel tempo di fenomeni economico-finanziari, Bachelier è considerato il padre della finanza matematica ed in suo onore fu proposto di indicare il processo di Wiener come processo di Bachelier - Wiener.
Solo negli anni sessanta però questo approccio è definitivamente entrato a far parte degli strumenti della teoria della finanza con il noto lavoro di Black e Scholes del 1973, che dall'ipotesi di variazioni "browniane" dei prezzi dei titoli finanziari deriva una formula per stimare l'andamento nel tempo dei prezzi dei prodotti finanziari derivati.
In particolare nel modello Black-Scholes-Merton (per il quale hanno ottenuto il premio Nobel per l'economia nel 1997) utilizza il moto browniano geometrico, un processo stocastico in tempo continuo in cui il logaritmo della quantità variabile nel tempo segue un moto browniano (o di Wiener).
E' importante la proprietà del logaritmo di essere sempre maggiore di zero, che è compatibile con la modellizzazione dei prezzi.
L’equazione differenziale stocastica:
dS(t) = σS(t)dB(t) + µS(t)dt
ha come soluzione un processo S(t) chiamato moto browniano geometrico della forma:
S(t) = S(0)exp{αt+σB(t)} dove α = µ − 1/2σ^2
Se scegliamo come dinamica dei prezzi il moto browniano geometrico e costruiamo i log-return X(ti) (ovvero la v.a. che esprime i valori logaritmici dei prezzi al tempo ti), otteniamo che essi si distribuiscono come una normale di media µ e varianza σ^2 entrambi moltiplicati per la differenza di tempo di rilevazione.
X(ti) ∼ N(µ∆t, (σ^2)∆t)
Tuttavia se la simulazione viene effettuata su lunghi periodi di tempo, la proprietà di indipendenza totale dal tempo che il MBG eredita dal MB non risulta realistica.
Per un primo approccio all'argomento tramite Visual Studio, ci si può accontentare di simulare una passeggiata aleatoria impostando variazioni di prezzo, intervalli di tempo utilizzati per la rilevazione delle variazioni di prezzo e differenza tra prezzi BID e ASK casuali.
Il modello noto come passeggiata aleatoria (Random walk) è il modello base utilizzato per descrivere i movimenti dei prezzi azionari nei principali modelli di gestione del rischio.
Nelle applicazioni economico-finanziarie si utilizzano prevalentemente passeggiate aleatorie per descrivere movimenti di prezzo nel tempo.
L’idea di base della Random Walk è che il prezzo di domani sia la somma del prezzo odierno e di un valore aleatorio. La prima caratteristica di questo modello è che ogni osservazione è indipendente dall’altra; nel caso monodimensionale i prezzi si muovono di un passo verso una certa direzione con probabilità p, o nella direzione opposta con probabilità 1-p (sotto le ipotesi che ogni passo sia di lunghezza costante e indipendente dal precedente).
Gli spostamenti avvengono con cadenza regolare prefissata.
Le variazioni di prezzo hanno media e volatilità costante.
Questo modello si può anche rendere più formale definendolo come un processo stocastico {Bn} discreto binomiale di parametro p, dove n è il tempo e Bn∼Binom(n, p) e inoltre:
P(B(n−1) − Bn = 1) = p
P(B(n−1) − Bn = −1) = 1 − p
Il guadagno cumulato, dopo n spostamenti, dato da t=nu segue una legge binomiale con media 0 e varianza t. Quindi il guadagno cumulato è (2k−n)·u con probabilità pari a quella della vincita di esattamente k scommesse sulle n totali. Per u che tende a 0 e per n che diverge in modo che il prodotto nu sia sempre pari a t, la distribuzione di probabilità del guadagno cumulato converge a una distribuzione normale con media 0 e varianza t.
In particolare, per t=1 il guadagno cumulato tende a una distribuzione normale standard.
Il processo di guadagno cumulato associato ad una passeggiata aleatoria nel continuo è detto Processo di Wiener.
Tale processo in forma standard è chiamato anche moto browniano.
Genralmente con il termine moto browniano si fa riferimento al moto disordinato di particelle sufficientemente piccole presenti in fluidi o sospensioni fluide, osservabile al microscopio.
In seguito, il matematico francese Louis Bachelier nella sua tesi di dottorato del 1900 sulla "Théorie de la spéculation" sviluppò una teoria, basata su un approccio statistico, con lo scopo di dare conto dell'andamento dei prezzi dei titoli alla Borsa di Parigi. Gli strumenti matematici da lui usati sono molto simili a quelli adoperati da Einstein nell'analisi del moto browniano, e ne condividono i presupposti fondamentali: le variazioni della grandezza in esame (i prezzi dei titoli in questo caso, gli spostamenti in quello del moto delle particelle) sono indipendenti da quelle precedenti, e la distribuzione di probabilità di tali variazioni è gaussiana.
Per questo lavoro, che rappresenta la prima rappresentazione matematica dell'andamento nel tempo di fenomeni economico-finanziari, Bachelier è considerato il padre della finanza matematica ed in suo onore fu proposto di indicare il processo di Wiener come processo di Bachelier - Wiener.
Solo negli anni sessanta però questo approccio è definitivamente entrato a far parte degli strumenti della teoria della finanza con il noto lavoro di Black e Scholes del 1973, che dall'ipotesi di variazioni "browniane" dei prezzi dei titoli finanziari deriva una formula per stimare l'andamento nel tempo dei prezzi dei prodotti finanziari derivati.
In particolare nel modello Black-Scholes-Merton (per il quale hanno ottenuto il premio Nobel per l'economia nel 1997) utilizza il moto browniano geometrico, un processo stocastico in tempo continuo in cui il logaritmo della quantità variabile nel tempo segue un moto browniano (o di Wiener).
E' importante la proprietà del logaritmo di essere sempre maggiore di zero, che è compatibile con la modellizzazione dei prezzi.
L’equazione differenziale stocastica:
dS(t) = σS(t)dB(t) + µS(t)dt
ha come soluzione un processo S(t) chiamato moto browniano geometrico della forma:
S(t) = S(0)exp{αt+σB(t)} dove α = µ − 1/2σ^2
Se scegliamo come dinamica dei prezzi il moto browniano geometrico e costruiamo i log-return X(ti) (ovvero la v.a. che esprime i valori logaritmici dei prezzi al tempo ti), otteniamo che essi si distribuiscono come una normale di media µ e varianza σ^2 entrambi moltiplicati per la differenza di tempo di rilevazione.
X(ti) ∼ N(µ∆t, (σ^2)∆t)
Tuttavia se la simulazione viene effettuata su lunghi periodi di tempo, la proprietà di indipendenza totale dal tempo che il MBG eredita dal MB non risulta realistica.
Per un primo approccio all'argomento tramite Visual Studio, ci si può accontentare di simulare una passeggiata aleatoria impostando variazioni di prezzo, intervalli di tempo utilizzati per la rilevazione delle variazioni di prezzo e differenza tra prezzi BID e ASK casuali.
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